컴퓨터그래픽스 - 7강. 기하변환 (1)

기본 2차원 변환

• 2차원 이동변환
  • x` = x + tx
  • y` = y + ty
  • 변환식: P` = P + T
• 2차원 크기변환
  • x` = sx * x
  • y` = sy * y
  • 변환식: x` = sx*x + 0y
  • 변환식: y` = 0x + sy*y
• 원점을 기준으로 한 2차원 크기변환
• 임의 고정점을 기준으로 한 크기변환
• 원점을 기준으로 한 회전변환
  • x = r * cosa
  • y = r * sina
  • x` = r * cos(a + pie) = r * cosa * cospie - r * sina * sinpie = x * cospie - y * sinpie
  • y` = rsin(a + pie) = r * cosa * sinpie + r * sina * cospie = x * sinpie + y * cospie
• 임의 고정점을 기준으로 한 회전 변환

기본 2차원 기하변환 식

• 이동변환
• 크기변환 (원점 기준)
• 회전변환 (원점 기준)

동차 좌표계와 기본 2차원 변환 행렬

• 동차좌표와 기하변환
  • 동차좌표
    • n차원 투영공간을 n + 1개의 좌표로 나타내는 좌표계
    • 2차원 동차좌표: (xh, yh, h), h != 0
    • 0이 아닌 모든 h에 대해 (hx, hy, h)는 데카르트 좌표계상에서 하나의 좌표 (x, y)를 나타냄
  • 동차좌표계에서 기본 기하변환의 행렬 표현
    • 기본 기하변환을 변환행렬과 좌표 벡터의 곱으로 표현할 수 있음
    • 2차원 변환행렬은 3x3 행렬로 표현됨
• 2차원 이동변환 행렬
  • 데카르트 좌표 표현 -> 동차 좌표 표현
• 2차원 크기변환 행렬
  • 데카르트 좌표 표현 -> 동차 좌표 표현
• 2차원 회전변환 행렬
  • 데카르트 좌표 표현 -> 동차 좌표 표현

기본 2차원 기하변환의 동차좌표 변환식

• 이동변환
• 크기변환 (원점 기준)
• 회전변환 (원점 기준)

기본 3차원 변환

• 3차원 이동변환 행렬
  • P = (x, y, z)
  • P' = (x', y', z')
  • T(tx, ty, tz)
  • P' = T(tx, ty, tz)P
• 3차원 크기변환 행렬
• 회전축과 양의 회전 방향
• z축 중심 회전변환
  • P' = Rz(pie)P
• x축 중심 회전변환
  • P' = Rx(pie)P
• y축 중심 회전변환
  • P' = Ry(pie)P